七点爱学考研数学中求解二元函数的极值，如同攀登一座山峰，寻找它的最高点（极大值）或最低点（极小值）。总的来说，可以概括为“一求、二代、三判”三大步。当然，这其中还蕴藏着一些细节和技巧，需要我们细致地分析和掌握。
先用最简洁的语言总结步骤：
- 求：求出二元函数的所有驻点和偏导数不存在的点。
- 代：将驻点代入二元函数的二阶偏导数，计算 A, B, C 的值。
- 判：根据 AC – B² 的符号以及 A 的符号，判断该驻点是极大值点、极小值点，还是鞍点，或需要进一步讨论。
接下来，让我们展开详细说说每一步，以及其中需要注意的要点，和一些应试技巧。
第一步：求驻点与偏导数不存在的点
这一步是基础，也是关键。就像登山前要找到正确的上山路径。我们需要找到所有可能的极值点。
首先，我们需要求出二元函数 f(x, y) 的两个偏导数：fx(x, y) 和 fy(x, y)。这是分别对 x 和 y 求偏导，求偏导的时候，要把另一个变量看作常数。求偏导数是基本功，务必熟练掌握各种求导法则，如链式法则、乘积法则、商法则等。
然后，我们需要解方程组：
fx(x, y) = 0
fy(x, y) = 0
这个方程组的解 (x0, y0) 就是函数的驻点。需要注意的是，这个方程组可能有多组解，每一组解都对应一个驻点，务必找出所有解，不要遗漏。解方程组的方法有很多，例如代入消元法、加减消元法等，选择哪种方法取决于具体的方程形式。有时候，方程组比较复杂，可能需要一些技巧才能解出来，这就需要平时多加练习，积累经验。
除了驻点之外，还有一类特殊的点需要考虑，那就是偏导数不存在的点。这类点虽然不满足 fx(x, y) = 0 和 fy(x, y) = 0，但它们也有可能是极值点。比如，函数 f(x, y) = |x| + |y| 在 (0, 0) 处，两个偏导数都不存在，但 (0, 0) 却是函数的最小值点。
因此，在求解二元函数的极值时，一定要同时考虑驻点和偏导数不存在的点。一般来说，偏导数不存在的点比较少见，通常出现在含有绝对值、分段函数等情况中。
第二步：代入计算 A, B, C
找到了所有可能的极值点后，接下来就需要判断这些点到底是极大值点、极小值点，还是鞍点（既不是极大值点也不是极小值点），或者需要进一步讨论。这一步需要计算三个关键的量：A, B, C。
我们需要计算二元函数 f(x, y) 的二阶偏导数：
- A = fxx(x0, y0) （对 x 求两次偏导）
- B = fxy(x0, y0) （先对 x 求偏导，再对 y 求偏导）
- C = fyy(x0, y0) （对 y 求两次偏导）
注意，这里需要将第一步求出的驻点 (x0, y0) 分别代入二阶偏导数中，得到具体的数值。求二阶偏导数同样需要熟练掌握求导法则。
第三步：判别
有了 A, B, C 的值，我们就可以根据判别法来判断驻点的性质了。判别法的核心是看 AC – B² 的符号以及 A 的符号。
这里我们可以分几种情况讨论：
-
如果 AC – B² > 0：
- 当 A > 0 时，(x0, y0) 是极小值点。
- 当 A < 0 时，(x0, y0) 是极大值点。
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如果 AC – B² < 0：(x0, y0) 不是极值点，而是鞍点。
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如果 AC – B² = 0：判别法失效，需要进一步讨论。这种情况比较复杂，可能需要利用其他方法，如定义法、泰勒展开等，来判断驻点的性质。考试中出现这种情况的概率相对较小，但也不能完全排除。
可以把这个判别法想象成一个“筛子”，AC – B² 就像筛孔的大小，A 决定了“筛”出的结果是极大值还是极小值。
补充说明与应试技巧
- 关于偏导数不存在的点：如果遇到偏导数不存在的点，通常需要根据极值的定义来判断。即，考察在该点附近，函数值与该点函数值的大小关系。
- 关于 AC – B² = 0 的情况：考试中如果出现这种情况，往往可以通过一些特殊的方法来解决。例如，观察函数的特性，或者利用不等式等。
- 关于计算：在计算偏导数和 A, B, C 的过程中，一定要仔细，避免计算错误。计算错误是导致失分的常见原因之一。
- 关于时间分配：求解二元函数的极值通常是一个大题，需要花费一定的时间。在考试中，要合理分配时间，不要在一道题上花费过多的时间。如果遇到难题，可以先跳过，做完其他题目后再回来解决。
- 关于书写步骤: 完整的书写步骤在考试中非常重要，即使最终计算结果错误，规范清晰的解题步骤也能获得一部分分数。务必将求一阶偏导，二阶偏导，解方程组，代入计算，和判别过程完整写出。
总而言之，求解二元函数的极值是一个综合性的问题，需要掌握扎实的微积分基础知识，熟练运用求导法则，并具备一定的解题技巧。通过大量的练习，才能在考场上游刃有余，取得理想的成绩。记住“一求、二代、三判”，并注重细节，你就能征服这座“极值”的山峰！