几何重数与代数重数定义

几何重数与代数重数是线性代数中刻画矩阵特征值性质的两个重要概念。简而言之，代数重数指的是特征值作为特征多项式根的重数；而几何重数指的是特征值对应的线性无关的特征向量的个数。二者之间存在重要的关系：几何重数总是小于或等于代数重数。理解这两个概念及其关系，对于深入理解矩阵的性质、对角化以及更广泛的线性代数应用至关重要。

下面，我们将采用多种方式来阐述这两个概念，并深入探讨它们之间的联系。

一、从定义出发：逐步解析

让我们先从定义入手。考虑一个 n 阶方阵 A。

1. 特征值与特征向量：

如果存在一个非零向量 v 和一个标量 λ，使得 Av = λv 成立，那么 λ 就被称为 A 的一个特征值，v 被称为对应于特征值 λ 的特征向量。这个方程的含义是：矩阵 A 作用于向量 v，效果等同于对 v 进行拉伸或压缩（包括反向），其比例因子就是 λ。

1. 特征多项式：

要找到特征值，我们需要解特征方程：det(A – λI) = 0，其中 I 是 n 阶单位矩阵，det 表示行列式。展开这个行列式，我们会得到一个关于 λ 的 n 次多项式，称之为特征多项式。根据代数基本定理，这个多项式在复数域内恰好有 n 个根（包括重根）。

1. 代数重数（Algebraic Multiplicity）：

特征值 λ 的代数重数就是它作为特征多项式根的重数。例如，如果特征多项式是 (λ – 2)²(λ – 3) = 0，那么特征值 2 的代数重数是 2，特征值 3 的代数重数是 1。

1. 特征空间：

对于每个特征值 λ，所有满足 Av = λv 的向量 v 构成的集合（包括零向量）形成一个向量空间，称为 λ 的特征空间。可以证明，特征空间实际上是 (A – λI) 的零空间。

1. 几何重数（Geometric Multiplicity）：

特征值 λ 的几何重数就是其对应特征空间的维数，也就是特征空间的一组基中线性无关向量的个数。换句话说，几何重数表示了对应于特征值 λ 的线性无关的特征向量的最大个数。

二、举例说明：形象理解

假设我们有一个 2×2 矩阵：

A = [[2, 1],
[0, 2]]

1. 计算特征多项式：

det(A – λI) = det([[2-λ, 1],
[0, 2-λ]]) = (2-λ)² = 0

1. 确定代数重数：

特征值 λ = 2 的代数重数为 2。

1. 计算特征空间：

求解 (A – 2I) v = 0，即：

[[0, 1],
[0, 0]] v = 0

得到特征空间的一组基为 {(1, 0)^T}。

1. 确定几何重数：

特征值 λ = 2 的几何重数为 1（因为特征空间基中只有一个向量）。

这个例子清晰地展示了代数重数（2）大于几何重数（1）的情况。

三、从不同的角度看：几何与代数

• 几何视角：几何重数直接反映了特征向量张成的空间的“大小”。如果几何重数较低，意味着对应于该特征值的特征向量“不够多”，无法张成一个与代数重数相匹配的维度空间。

• 代数视角：代数重数则从特征多项式的根的角度出发，反映了特征值在“代数层面”的重复程度。

四、深入探讨：为什么几何重数小于或等于代数重数？

这是线性代数中的一个基本定理。其证明较为复杂，但可以从以下几个方面理解其核心思想：

1. 线性无关性：属于不同特征值的特征向量一定是线性无关的。

2. 特征空间的并：所有特征空间的并（不一定是直和）的维数不会超过矩阵的阶数 n。

3. 秩-零度定理：对于矩阵 (A – λI)，其零空间的维数（即几何重数）加上其秩（即非零特征值的个数，考虑到重数）等于矩阵的列数 n。

4. 若尔当标准型: 任意一个复数域上的方阵A，都相似于一个若尔当标准型矩阵J. 矩阵 J 是一个分块对角矩阵，每一个分块（若尔当块）对应一个特征值。若尔当块的主对角线上都是同一个特征值λ，对角线上方的位置可能是1，也可能是0。

   • 一个特征值λ的代数重数，等于所有对应于λ的若尔当块的阶数之和。
   • 一个特征值λ的几何重数，等于对应于λ的若尔当块的个数。
     因为每个若尔当块的阶数必定大于等于1，所以几何重数（若尔当块的个数）必然小于等于代数重数（若尔当块的阶数之和）。

五、实际应用与重要性

几何重数和代数重数的关系对于判断矩阵是否可对角化至关重要。一个 n 阶方阵 A 可对角化的充要条件是：对于每个特征值，其几何重数等于代数重数。换句话说，如果存在 n 个线性无关的特征向量，那么矩阵 A 就可以通过相似变换对角化。

在实际应用中，矩阵的可对角化性影响着许多问题的解决，例如：

• 求解线性微分方程组：可对角化的矩阵可以简化方程组的求解过程。
• 计算矩阵的幂：对角化可以极大地简化矩阵幂的计算。
• 主成分分析（PCA）：PCA 依赖于协方差矩阵的特征值和特征向量，而几何重数和代数重数的关系影响着 PCA 的结果。
• 量子力学: 在量子力学中, 算符的本征值(特征值)代表了可观测量的可能取值, 而本征态(特征向量)则代表了系统在该取值下的状态. 几何重数和代数重数在这里有重要的物理意义。

总结

几何重数和代数重数是线性代数中一对重要概念。代数重数关注特征值作为多项式根的重复次数，而几何重数关注线性无关特征向量的个数。深刻理解这两个概念以及它们之间的关系（几何重数小于等于代数重数），对于掌握矩阵理论及其应用至关重要。它们不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中扮演着关键角色。