高中一元三次方程解法

高中阶段，我们主要接触的是特殊的一元三次方程，而非一般形式的一元三次方程。对于一般形式的一元三次方程，其求解涉及到卡尔丹公式（Cardano’s formula）和盛金公式，较为复杂，超出了高中数学的范畴。因此，高中阶段求解一元三次方程，核心在于利用已学知识，将三次方程降次为二次方程或一次方程，进而求解。

总的来说，高中阶段解一元三次方程的方法主要有以下几种，并且这些方法通常需要结合使用：因式分解法（包括十字相乘法、分组分解法、试根法、拆项/添项法）、公式法（主要指立方和/立方差公式）。这些方法的核心思想都是将三次方程转化为更容易求解的低次方程。

下面我们来详细探讨这些方法，并结合实例进行讲解：

一、因式分解法

这是解一元三次方程最常用、也最需要技巧的方法。因式分解法的目标是将三次多项式分解成几个因式的乘积，从而将方程转化为几个低次方程。

1. 十字相乘法（针对特殊形式）:

   虽然十字相乘法通常用于二次方程，但对于某些特殊形式的三次方程，也可以尝试。例如，方程 x³ + ax² + bx + c = 0，如果能观察到 c 可以分解成两个数之积，而这两个数与 a、b 存在某种关系，就可以尝试。

   例1：解方程 x³ – 6x² + 11x – 6 = 0

   观察到常数项 -6 = -1 × -2 × -3，并且 -1 + (-2) + (-3) = -6， (-1)(-2) + (-1)(-3) + (-2)(-3) = 11。因此，可以尝试将方程改写为：

   (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0

   直接得出三个根：x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3。

   这种方法需要较强的观察力和数字敏感度。

2. 分组分解法:

   分组分解法适用于系数之间存在某种比例关系或对称性的三次方程。通过恰当的分组，提取公因式，从而实现降次。

   例2：解方程 2x³ – x² + 4x – 2 = 0

   我们可以将前两项和后两项分别分组：

   (x²)(2x – 1) + 2(2x – 1) = 0

   提取公因式 (2x – 1)：

   (2x – 1)(x² + 2) = 0

   由此得到 2x – 1 = 0 或 x² + 2 = 0。

   解得 x₁ = 1/2，x² + 2 = 0 在实数范围内无解（在复数范围内有解）。

3. 试根法（有理根定理）:

   试根法，也叫有理根定理，是解一元三次方程的重要方法。如果三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a, b, c, d 为整数，且 a ≠ 0) 存在有理根 p/q (p, q 为互质的整数)，那么 p 一定是 d 的因数，q 一定是 a 的因数。

   例3：解方程 x³ – 3x² + 4 = 0

   常数项 4 的因数有 ±1, ±2, ±4；首项系数 1 的因数有 ±1。
   因此，可能的有理根有 ±1, ±2, ±4。

   将这些可能的值逐一代入方程进行检验：

   • 当 x = 1 时，1³ – 3(1)² + 4 = 2 ≠ 0
   • 当 x = -1 时，(-1)³ – 3(-1)² + 4 = 0

   因此，x = -1 是方程的一个根。这意味着 (x + 1) 是方程的一个因式。我们可以用长除法或综合除法将 x³ – 3x² + 4 除以 (x + 1)，得到：

   x³ – 3x² + 4 = (x + 1)(x² – 4x + 4) = (x + 1)(x – 2)² = 0

   所以，方程的根为 x₁ = -1, x₂ = x₃ = 2。

   试根法是解决高中一元三次方程的一个关键突破口，通常结合多项式除法使用。

4. 拆项/添项法：
   这种方法需要一定的技巧和经验，通过将某一项拆成几项，或者添加一些项（同时减去相同的项）来创造分组分解或运用公式的条件。
   例4: 解方程 x³-3x+2=0
   可以将-3x拆为-x-2x，从而得到：
   x³- x – 2x +2 =0
   x(x²-1)-2(x-1)=0
   x(x-1)(x+1)-2(x-1)=0
   (x-1)(x(x+1)-2)=0
   (x-1)(x²+x-2)=0
   (x-1)(x-1)(x+2)=0
   所以，方程的根为x₁=x₂=1, x₃=-2

二、公式法（立方和/立方差公式）

立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
立方差公式：a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

如果方程可以转化为立方和或立方差的形式，就可以直接运用公式分解。

例5：解方程 8x³ + 27 = 0

可以改写为 (2*x*)³ + 3³ = 0

利用立方和公式：

(2*x* + 3)((2*x*)² - (2*x*)(3) + 3²) = 0

(2*x* + 3)(4*x*² - 6*x* + 9) = 0

2*x* + 3 = 0  或  4*x*² - 6*x* + 9 = 0

解得 *x*₁ = -3/2。  4*x*² - 6*x* + 9 = 0 可以用求根公式求解，但其判别式 Δ = (-6)² - 4 × 4 × 9 = -108 < 0，所以在实数范围内无解（在复数范围内有解）。

总结

高中阶段的一元三次方程解法，以因式分解法为主，试根法为重要突破口，公式法为辅助手段。解题时，需要灵活运用各种方法，并结合方程的具体特点进行选择。遇到困难时，不妨多尝试不同的方法，并注意观察系数之间的关系，寻找解题的线索。同时，要熟练掌握二次方程的解法，因为三次方程最终往往会转化为二次方程进行求解。 而对于更一般的三次方程，高中阶段不作要求，但了解其存在更复杂的求解方法（卡尔丹公式和盛金公式）也是有益的。