三角形外接圆半径怎么求

三角形外接圆半径怎么求？一言以蔽之：利用正弦定理、面积公式或特殊三角形性质结合已知条件求解。 展开来说，求三角形外接圆半径的方法并非单一，而是需要根据题目中给出的具体条件灵活选择最合适的方法。下面将详细介绍几种常用的方法，并辅以例题说明，希望能帮助各位读者理解掌握。

一、 正弦定理法

这是求三角形外接圆半径最常用也最直接的方法。正弦定理的内容是：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆直径的长度（即外接圆半径的两倍）。

用公式表示就是：

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

其中，a、b、c 分别是三角形的三条边，A、B、C 分别是这三条边所对的角，R 是三角形外接圆的半径。

适用情况： 已知三角形的任意一边及其对角，或者已知两边和其中一边的对角时，可以直接使用正弦定理求出外接圆半径R。

例题1： 在三角形ABC中，已知角A = 60°，边a = 3√3，求三角形ABC外接圆的半径R。

解： 直接利用正弦定理：

a / sinA = 2R

3√3 / sin60° = 2R

3√3 / (√3/2) = 2R

6 = 2R

R = 3

所以，三角形ABC的外接圆半径R为3。

例题2： 在三角形ABC中，已知边a = 5, 边b = 7, 角A = 30°， 求三角形ABC外接圆的半径R。

解： 依然利用正弦定理：

a / sinA = 2R

5 / sin30° = 2R

5 / (1/2) = 2R

10 = 2R

R = 5

所以，三角形ABC的外接圆半径R为5。

二、 面积公式法

三角形的面积公式结合海伦公式或普通面积公式，也可以用来求外接圆半径。

1. 海伦公式结合法

海伦公式是：

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S是三角形的面积，a、b、c是三角形的三条边，p是三角形的半周长，即 p = (a+b+c)/2。

而三角形面积与外接圆半径的关系是：

S = abc / 4R

将两个公式结合，就可以得到：

R = abc / [4√(p(p-a)(p-b)(p-c))]

适用情况： 已知三角形的三条边长时，可以使用海伦公式结合面积公式求外接圆半径。

例题3： 在三角形ABC中，已知a = 5, b = 6, c = 7，求三角形ABC外接圆的半径R。

解：
首先计算半周长p：p = (5+6+7)/2 = 9

然后计算面积S：S = √[9(9-5)(9-6)(9-7)] = √(943*2) = √216 = 6√6

最后计算外接圆半径R：R = (567) / (4 * 6√6) = 35 / (4√6) = (35√6) / 24

所以，三角形ABC的外接圆半径R为(35√6) / 24。

2. 普通面积公式结合法

如果已知三角形的一边及其对应的高，或者已知两边及其夹角，可以用普通面积公式：

S = (1/2) * 底 * 高 或者 S = (1/2) * a * b * sinC

同样，利用 S = abc / 4R，可以推导出：

R = abc / (2 * 底 * 高) 或者 R = c / (2sinC) (注意，这里的c是已知两边夹角的对边)

适用情况： 已知三角形的底和高，或者已知两边及夹角时。

例题4： 在三角形ABC中，已知边c = 8, 边c上的高h = 5，求三角形ABC外接圆的半径R。

解：
首先计算面积S：S = (1/2) * 8 * 5 = 20

然后计算外接圆半径R：R = (abc) / (4S) = (abc) / (2 * 底 * 高)。我们缺少a和b的信息，但是我们知道面积S和边c以及对应的高，可以利用面积与外接圆半径的关系变形：
S=abc/4R, 所以abc = 4RS, R = abc/4S= c * (ab/4S)
因为S = 1/2ch,所以ab/4S = ab / (2ch) 并不是一个固定的值。需要其他的关系。
这里不能用普通面积法直接求出，需要利用正弦定理和余弦定理进行辅助求解，或者问题给出的条件有误。

例题4 修正: 在三角形ABC中,已知AB边长c=8, sinC=0.75, 求三角形ABC外接圆半径R。
解：
利用公式： R = c/(2sinC) = 8/(2*0.75) = 8/1.5 = 16/3
所以R = 16/3.

三、 特殊三角形法

对于一些特殊的三角形，如直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，其外接圆半径有更简洁的求法。

• 直角三角形： 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，外接圆半径等于斜边的一半。 R = 斜边 / 2
• 等边三角形： 等边三角形的外接圆圆心也是其内心、垂心、重心，是“四心合一”的点。外接圆半径 R = (√3/3) * 边长。
• 等腰直角三角形: 等腰直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，半径是斜边的一半。R=斜边/2。

适用情况： 题目明确指出或可以推断出三角形是特殊三角形。

例题5： 在直角三角形ABC中，已知斜边AB = 10，求三角形ABC外接圆的半径R。

解： 直接应用直角三角形的性质，R = 斜边 / 2 = 10 / 2 = 5。

例题6： 在等边三角形ABC中，已知边长为6，求三角形ABC外接圆的半径R。

解： 直接应用等边三角形的性质，R = (√3/3) * 边长 = (√3/3) * 6 = 2√3。

总结

求解三角形外接圆半径，关键在于根据已知条件选择合适的方法。正弦定理 是通用的方法，面积公式 适用于已知边长或部分边角关系的情况，而 特殊三角形 的性质则提供了更简便的解题途径。 希望通过以上方法和例题的讲解，大家能够灵活运用，解决各种三角形外接圆半径的求解问题。