解密考研数学：质心坐标公式全攻略

姐妹们，兄弟们！考研数学的质心坐标公式是不是让你头秃？别慌！这篇笔记就是来拯救你们的！质心坐标公式的核心其实就一句话：用三个顶点坐标的加权平均来表示目标点的坐标。 是不是瞬间感觉清晰多了？下面我们就来深入浅出地扒一扒这个公式，让你彻底告别死记硬背，从此灵活运用！

不知道大家有没有这种感觉，看到质心坐标公式一堆希腊字母就头大！其实公式本身很简单，只是符号看起来有点吓人。与其对着公式发呆，不如先理解它的几何意义。想象一下一个三角形，三个顶点就像跷跷板的支点，而质心就是放上重物后能保持平衡的那个点。 质心坐标就是用三个顶点的坐标，按比例混合，最终得到质心的坐标。 是不是很像调配一杯特饮，不同成分的比例决定了最终的口味？

先来看一下平面质心坐标公式：设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃)，则三角形内部任意一点P的质心坐标(λ₁,λ₂,λ₃)满足：

P = λ₁A + λ₂B + λ₃C 且 λ₁ + λ₂ + λ₃ = 1

其中，λ₁, λ₂, λ₃ 分别代表点P到三角形三条边的距离与对应顶点到该边距离的比值。是不是觉得有点抽象？没关系，我们换个更直观的说法：λ₁, λ₂, λ₃ 分别代表了三个顶点对点P的“贡献度”。 例如，λ₁越大，说明点P越靠近顶点A，A对P的影响就越大。

那么，如何计算λ₁, λ₂, λ₃呢？其实很简单，它们分别等于三角形PBC, PCA, PAB的面积与三角形ABC的面积之比：

λ₁ = S△PBC / S△ABC

λ₂ = S△PCA / S△ABC

λ₃ = S△PAB / S△ABC

记住这个面积比的关系，就再也不用死记硬背公式啦！

接下来，我们用一个实际的例子来巩固一下。假设三角形ABC的顶点坐标分别为A(1,1), B(2,4), C(4,2)，点P的坐标为(2,2)。我们来求点P的质心坐标。

首先，计算三角形ABC的面积：S△ABC = 1/2 |(2-1)(2-1) – (4-1)(4-1)| = 1/2 |1 – 9| = 4

然后，分别计算三角形PBC, PCA, PAB的面积：

S△PBC = 1/2 |(2-2)(2-4) – (4-2)(2-2)| = 0

S△PCA = 1/2 |(4-2)(2-1) – (2-1)(2-2)| = 1

S△PAB = 1/2 |(2-1)(2-1) – (4-1)(2-1)| = 1/2 |1 – 3| = 1

最后，计算λ₁, λ₂, λ₃：

λ₁ = S△PBC / S△ABC = 0/4 = 0

λ₂ = S△PCA / S△ABC = 1/4 = 0.25

λ₃ = S△PAB / S△ABC = 1/4 = 0.25

可以看到，λ₁ + λ₂ + λ₃ = 0 + 0.25 + 0.25 = 0.5 ！等等，这不等于1啊？ 这是因为点P在三角形ABC的边AC上，不在三角形内部。 如果点在三角形内部，则λ₁ + λ₂ + λ₃ 一定等于1。

掌握了平面质心坐标公式，空间质心坐标公式也就迎刃而解啦！空间质心坐标公式与平面公式非常相似，只是多了一个z坐标。 设四面体ABCD的四个顶点坐标分别为A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃), D(x₄,y₄,z₄)，则四面体内部任意一点P的质心坐标(λ₁,λ₂,λ₃,λ₄)满足：

P = λ₁A + λ₂B + λ₃C + λ₄D 且 λ₁ + λ₂ + λ₃ + λ₄ = 1

其中，λ₁, λ₂, λ₃, λ₄分别等于四面体PBCD, PCDA, PDAB, PABC的体积与四面体ABCD的体积之比。

好了，今天的分享就到这里啦！希望这篇笔记能帮助大家彻底搞懂质心坐标公式！记住，理解公式的几何意义比死记硬背更重要！考研数学，我们一起加油！冲鸭！