齐次线性方程组如何求基础解系

求解齐次线性方程组的基础解系，核心就是对系数矩阵进行初等行变换化成阶梯型矩阵，找到自由变量，然后根据自由变量的个数确定基础解系的向量个数，并对自由变量赋值求解非自由变量，最终得到基础解系。是不是感觉有点复杂？🤔 别担心！接下来我会用通俗易懂的语言，一步一步带你解开这个谜团！💯

💖 想快速掌握齐次线性方程组基础解系的求法？这篇文章你一定要认真看完哦！从原理到方法再到案例，保姆级教程带你飞！🚀

首先，我们得知道什么是齐次线性方程组。其实很简单，就是方程组等号右边全是0️⃣的线性方程组。比如：

“`

2x + 3y – z = 0

x – y + 2z = 0

“`

它的系数矩阵就是把方程组的系数拿出来组成的矩阵：

“`

2 3 -1

1 -1 2

“`

而我们要求的基础解系，就是一组线性无关的解向量，其他所有解都可以由它们线性表示出来。✨ 是不是有点抽象？没关系，我们一步步来看！

第一步：高斯消元法化阶梯型矩阵

拿到系数矩阵后，我们要做的第一件事就是把它化成阶梯型矩阵。这里要用到的是初等行变换，包括：

交换两行

将一行乘以一个非零常数

将一行的若干倍加到另一行

目标是把矩阵变成类似这样的形式：

“`

1

0 1

0 0 1

0 0 0 0

“`

其中 代表任意数字。有没有发现，每一行的第一个非零元素都是1，而且它们的位置逐行右移，形成了一个“阶梯”的形状。是不是很形象？🤩

举个栗子🌰：对于上面的系数矩阵，我们可以进行如下变换：

1. 将第一行乘以1/2：

“`

1 3/2 -1/2

1 -1 2

“`

2. 将第一行的-1倍加到第二行：

“`

1 3/2 -1/2

0 -5/2 5/2

“`

3. 将第二行乘以-2/5：

“`

1 3/2 -1/2

0 1 -1

“`

看！我们已经成功地把系数矩阵化成了阶梯型矩阵！🎉

第二步：确定自由变量和非自由变量

阶梯型矩阵中，每一行第一个非零元素对应的变量称为非自由变量，其余变量称为自由变量。在上面的例子中，x 和 y 对应的列有首非零元，所以 x 和 y 是非自由变量，而 z 对应的列没有首非零元，所以 z 是自由变量。

第三步：根据自由变量求基础解系

自由变量的个数决定了基础解系的向量个数。对于每一个自由变量，我们都令它为1，其他自由变量为0，然后回代到方程组中求解非自由变量。

在上面的例子中，只有一个自由变量 z。我们令 z = 1，回代到方程组中：

“`

x + (3/2)y – (1/2) 1 = 0

y – 1 = 0

“`

解得 y = 1，x = -1。

因此，基础解系的一个向量就是 (-1, 1, 1)。由于只有一个自由变量，所以基础解系就只有一个向量。也就是说，方程组的通解可以表示为 k(-1, 1, 1)，其中 k 为任意常数。🥳

是不是感觉清晰多了？其实求解齐次线性方程组的基础解系并不难，关键在于理解初等行变换、阶梯型矩阵、自由变量和非自由变量的概念。多练习几个例子，你就能轻松掌握啦！💪

最后，再总结一下求解步骤：

1. 列出系数矩阵

2. 高斯消元法化阶梯型矩阵

3. 确定自由变量和非自由变量

4. 令自由变量取值，求解非自由变量

5. 得到基础解系

希望这篇文章能帮助你更好地理解齐次线性方程组基础解系的求法！💖 如果还有什么疑问，欢迎在评论区留言哦！✍️